東京歯科大学対策 数学
放物線に入る長方形の面積

まずは課題の確認から

最初は、前回出した課題の確認です。今回はけっこう量があったので、残りの分はノートを送ってもらって、採点して返します。やってみて時間がかかったところや、止まったところがあったら教えてね、とも伝えました。

久しぶりに半角の公式が出てきました。解説を読めばやっていることは分かる、でも本番の時間内に自分で解けるかは別、というタイプの単元です。こういうところは追加で問題を入れることにしました。全部一個一個つぶしていった方がいいので。

今日の一問　放物線に入る長方形

課題の中から一問、じっくりやったのがこれです。放物線と x 軸で囲まれた部分に長方形をぴったり入れて、面積が一番大きくなるのはどれか、という問題。

入試ではわりとよく見る形なんですが、初めてだと「どこを文字で置けばいいのか」で手が止まりやすいんです。長方形の形がいくらでもあるので。

ポイントは、グラフが左右対称なことです。右上の角の x 座標を a と置けば、その点はグラフ上にあるので、高さも a で書けます。右半分の面積は横×縦で、全体はその2倍。

あとは面積を a の式にして、微分して最大を探します。一回やっておけば次に見たときにすっと入れるので、似た問題をもう一題探して、次の課題に入れておきます。

答えが合っていても、解き方は聞きます

正解が出たら「おー、正解」。そのあとに「どうやって解いた？」と聞きます。

今日だと絶対値のついた不等式。グラフで解いてくれていて、グラフはミスしにくいし、何をやっているかが目で分かるのがいいところです。ただ本番で時間に追われているなら、絶対値の中身が正か負かで場合分けして外した方が早い。両方のやり方を並べて見てもらいました。

文字の入った因数分解で止まったときは、普段の数字の因数分解に戻って説明しました。かけてこれ、足してこれになる二つを探す、という考え方は同じなんですが、文字になると急に見えにくくなるんですよね。やったことがないと、なかなか気づけないところです。

円と直線の問題で弦の長さが出てきたら、円の中心から垂線を下ろして、点と直線の距離と三平方。だいたいこの流れで解けます。

後半は、生徒の手元にあった別の問題を解きました。ちょっと面倒かもしれないけど、と頼んで送ってもらったら、答えまで探して送ってくれました。ありがとう。ところが途中で、送ってもらった解答が別の問題のものだったみたいで、そこはその場で確かめながら進めました。

途中で、日本シリーズの話をちょっとだけしました。あと、授業では画面にグラフを手で描くんですが、一発できれいに描くのはなかなか難しいです。

2時間で十数題。まだまだ、やれることはあります。

次の課題は、今日つまずいたところを中心に、また作って送ります。入試までの時間は、もうそんなに多くありません。ここからは一題一題、確実に取れるところを増やしていく時期です。最後までとことん付き合います。一緒に追い込んでいきましょう。

塾長 島田